Bài tập ánh xạ tuyến tính

Trong chương trình toán cao cấp môn đại số cùng hình học tập giải tích, để làm rõ hơn về ánh xạ tuyến tính , bài viết này dvdtuhoc.com sẽ share một số kiến thức và kỹ năng cơ bạn dạng cùng với những dạng bài xích tập về ánh xạ tuyến đường tính thường chạm chán trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!

1. Ánh xạ tuyến tính là gì?

Định nghĩa: V→W từ không khí vecto V đến không gian vecto W hotline là ánh xạ đường tính nếu hài lòng 2 đặc thù sau:

f(x,y)=f(x)+f(y)f(kx)=kf(x)

∀ x, y∈V, ∀ k∈ R

2. Các đặc thù của ánh xạ tuyến tính

Cho V cùng W là hai không khí véc tơ. Giả dụ f: V → W là 1 ánh xạ tuyến tính thì:

f(θ) = θf(–v) = –f(v), ∀v ∈ Vf(u – v) = f(u) – f(v), ∀u, v ∈ V.

Bạn đang xem: Bài tập ánh xạ tuyến tính

3. Hạng của ánh xạ đường tính – Định lí về số chiều

Định nghĩa hạng của axtt: nếu như f: V → W là 1 ánh xạ đường tính thì số chiều của Im(f) điện thoại tư vấn là hạng của f, cam kết hiệu là rank(f).

Xem thêm: Hướng Dẫn Giao Dịch Cầu Thủ Trong Fifa Online 3, Giao Dịch Cầu Thủ Trong Fifa Online 3

rank(f) = dim(Im(f)).

Định lý về số chiều: nếu như f: V → W là 1 trong những ánh xạ đường tính thì

dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n,

trong kia n = dimV, có nghĩa là rank(f) + dim(Ker(f)) = n.

3. Minh chứng ánh xạ tuyến tính

Ví dụ: mang đến R2→R3, chứng minh ánh xạ f có phải là ánh xạ con đường tính giỏi không

f(x,y)=(x+y, 0, 2x+2y)

Giải

Lấy 2 vecto ngẫu nhiên thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f(x+y)=(x1 + x2, y1 + y2)

=(x1 + x2 + y1 + y2,0, 2x1 + 2x2 + 2y1 + 2y2)

= (x1+y1, 0, 2x1 + 2y1 )+(x2,+y2 , 0, 2x2 +y2 )

= f(x)+f(y)

-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )

= (kx 1 + ky 1 , 0, 2kx 1 + 2ky 1 )

= k (x 1 + y 1, 0, 2x 1 + 2y 1 )

= kf (x)

Vậy ánh xạ đã chỉ ra rằng ánh xạ tuyến đường tính

4. Ma trận của ánh xạ tuyến đường tính

V là không gian vecto với cửa hàng S

W là không khí vecto với cửa hàng T

Ma trận của f theo cửa hàng S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f(s) theo các đại lý T

Cách kiếm tìm ma trận của ánh xạ tuyến tínhTìm ảnh f(s)Tìm toạ độ T

5. Cách tìm ma trận thiết yếu tắc của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ: kiếm tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R4

f (a, b, c) = (a + b + c, b, bc, a + c)

Giải

Có thể viết lại thành dạng cột:

Ví dụ: tìm kiếm ma trận của f theo đại lý S-T : R3→R2

f (a, b, c) = (b + c, 2a-c)

S = u 1 (1,0,1), u 2 (4,3,3), u 3 (1,2,1)

T = (2,2), (1,7)

Giải

Tìm hình ảnh f(s):

f (u 1 ) = f (1,0,1) = (1,1)

f (u 2 ) = f (4,3,3) = (6,5)

f (u 3 ) = (1,2,1) = (3,1)

Tìm toạ độ T

Vậy ma trận S – T là:

Tham khảo: bài xích tập không khí vecto có lời giải

Bài tập ánh xạ con đường tính gồm lời giải

I. Bài xích tập chứng minh ánh xạ tuyến tính có lời giải

1.Ánh xạ f: R2 → R2 liệu có phải là tuyến tính không?

f (x, y) = (x, y + 1)

Giải

Lấy 2 vecto ngẫu nhiên thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f (x + y) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 )

= (x 1 + x 2 ,  y 1 + y 2 + 1)

= (x 1 , y 1 +1) + (x 2 , y 2 )

≠ f (x) + f (y)

Vậy ánh xạ đã cho không hẳn là ánh xạ đường tính

2. Ánh xạ f: R2 → R2 liệu có phải là tuyến tính không?

f (x, y) = (y, y)

Giải

Lấy 2 vecto ngẫu nhiên thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f (x + y) = (y 1 + y 2 , y 1 + y 2 )

= (y 1 + y 2 ,  y 1 + y 2 )

= (y 1 + y 1 ) + (y 2 , y 2 )

= f (x) + f (y)

-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )

= (ky 1 , ky 1 )

= k (y 1, y 1 )

= kf (x)

Vậy ánh xạ đã chỉ ra rằng ánh xạ tuyến tính

II. Tra cứu ma trận f so với cơ sở chính tắc

1. Tìm ma trận bao gồm tắc của ánh xạ f: R3→R3

f (a, b, c) = (a + 2b + c, a + 5b, c)