Bài tập ánh xạ tuyến tính

Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về ánh xạ tuyến tính , bài viết này dvdtuhoc.com sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về ánh xạ tuyến tính thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!


1. Ánh xạ tuyến tính là gì?

Định nghĩa: V→W từ không gian vecto V đến không gian vecto W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả mãn 2 tính chất sau:

f(x,y)=f(x)+f(y)f(kx)=kf(x)

∀ x, y∈V, ∀ k∈ R

2. Các tính chất của ánh xạ tuyến tính

Cho V và W là hai không gian véc tơ. Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì:

f(θ) = θf(–v) = –f(v), ∀v ∈ Vf(u – v) = f(u) – f(v), ∀u, v ∈ V.

Bạn đang xem: Bài tập ánh xạ tuyến tính

3. Hạng của ánh xạ tuyến tính – Định lí về số chiều

Định nghĩa hạng của axtt: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của Im(f) gọi là hạng của f, ký hiệu là rank(f).

Xem thêm: Hướng Dẫn Giao Dịch Cầu Thủ Trong Fifa Online 3, Giao Dịch Cầu Thủ Trong Fifa Online 3

rank(f) = dim(Im(f)).

Định lý về số chiều: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì

dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n,

trong đó n = dimV, tức là rank(f) + dim(Ker(f)) = n.

3. Chứng minh ánh xạ tuyến tính

Ví dụ: Cho R2→R3, Chứng minh ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không

f(x,y)=(x+y, 0, 2x+2y)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f(x+y)=(x1 + x2, y1 + y2)

=(x1 + x2 + y1 + y2,0, 2x1 + 2x2 + 2y1 + 2y2)

= (x1+y1, 0, 2x1 + 2y1 )+(x2,+y2 , 0, 2x2 +y2 )

= f(x)+f(y)

-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )

= (kx 1 + ky 1 , 0, 2kx 1 + 2ky 1 )

= k (x 1 + y 1, 0, 2x 1 + 2y 1 )

= kf (x)

Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính

4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính

V là không gian vecto với cơ sở S

W là không gian vecto với cơ sở T

Ma trận của f theo cơ sở S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f(s) theo cơ sở T

Cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tínhTìm ảnh f(s)Tìm toạ độ T

5. Cách tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ: Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R4

f (a, b, c) = (a + b + c, b, bc, a + c)

Giải

Có thể viết lại thành dạng cột:

*

*

Ví dụ: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R3→R2

f (a, b, c) = (b + c, 2a-c)

S = {u 1 (1,0,1), u 2 (4,3,3), u 3 (1,2,1)}

T = {(2,2), (1,7)}

Giải

Tìm ảnh f(s):

f (u 1 ) = f (1,0,1) = (1,1)

f (u 2 ) = f (4,3,3) = (6,5)

f (u 3 ) = (1,2,1) = (3,1)

Tìm toạ độ T

*

Vậy ma trận S – T là:

*

Tham khảo: bài tập không gian vecto có lời giải

Bài tập ánh xạ tuyến tính có lời giải

I. Bài tập chứng minh ánh xạ tuyến tính có lời giải

1.Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?

f (x, y) = (x, y + 1)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f (x + y) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 )

= (x 1 + x 2 ,  y 1 + y 2 + 1)

= (x 1 , y 1 +1) + (x 2 , y 2 )

≠ f (x) + f (y)

Vậy ánh xạ đã cho không phải là ánh xạ tuyến tính

2. Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?

f (x, y) = (y, y)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f (x + y) = (y 1 + y 2 , y 1 + y 2 )

= (y 1 + y 2 ,  y 1 + y 2 )

= (y 1 + y 1 ) + (y 2 , y 2 )

= f (x) + f (y)

-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )

= (ky 1 , ky 1 )

= k (y 1, y 1 )

= kf (x)

Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính

II. Tìm ma trận f đối với cơ sở chính tắc

1. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R3

f (a, b, c) = (a + 2b + c, a + 5b, c)