BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

Bạn đã xem tư liệu "Chuyên đề Bất đẳng thức và cực trị của hàm nhiều biến", để mua tài liệu gốc về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD làm việc trên

Bất đẳng thức và rất trị của hàm nhiều biếnI/ Phương pháp biến đổi tương đươngVí dụ 1.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức và cực trị

Cho ab ≥1. Triệu chứng minh: Giải: Đpcm (đúng)Bài tập áp dụng:Cho a, b, c ≥1. Chứng minh Cho a, b, c, d, e ≥1. Chứng tỏ Cho minh chứng Ví dụ 2. Mang lại a, b > 0, m cùng n là nhì số nguyên dương. Bệnh minh:(am + bm)(an + bn) ≤ 2(am+n + bm+n)ambn + anbm ≤ am+n + bm+nGiải: Cả nhì BĐT trên cùng tương đương với BĐT : (an-bn)(am-bm) ≥0 (đúng)Bài tập áp dụng: đến a, b, c dương. Triệu chứng minh:(a + b)(a2 + b2)(a3 + b3) ≤ 4(a6+ b6) với đa số n nguyên dương cùng với abc =1Ví dụ 3. Với tất cả số thực a, b, c. Triệu chứng minh: a2+ b2+ c2 ≥ab + bc + caGiải: Đpcm tương tự với (a - b)2+(b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (đúng).Bài tập áp dụng: với đa số số thực a,b,c dương chứng minh:a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)(ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)Bài tập trường đoản cú luyệnCho a≥b>0, c≥ . Chứng minh: mang đến a, b, c dương. Hội chứng minh:a)b)II. Cách thức sử dụng bất đẳng thức Côsi lấy một ví dụ 1. CMR: với mọi x1,x2,,xn dươngGiải: vận dụng BĐT Côsi ta gồm và Nhân vế cùng với vế 2 bất đẳng thức bên trên ta được Đpcm. Đẳng thức xẩy ra khi x1= x2 == xn.Bài tập áp dụng:Với phần đông a,b,c dương, chứng minh:Với đầy đủ tam giác ABC, triệu chứng minh: Chú ý: Ta xem lấy ví dụ như 1 như một hiệu quả được áp dụng cho những ví dụ tại vị trí sau.Ví dụ 2: mang lại a, b, c dương. Hội chứng minh:1)2)Giải: 1) Chú ý: rất có thể sử dụng BĐT Bunhia để minh chứng BĐT trên.2) vận dụng BĐT Côsi ta gồm Ta cũng đều có 2 BĐT tương tự như thế. Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta được Đpcm.Chú ý : BĐT trên hoàn toàn có thể chứng minh bằng phương pháp sử dụng BĐT Bunhia hoặc rất có thể sử dụng kết quả của BĐT 1). Bài bác tập áp dụng :1) với tất cả a, b, c dương hội chứng minh: 2) mang đến a, b, c dương với abc = 1. Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức p. = 3) với mọi tam giác ABC hội chứng minhVí dụ 3: với mọi a, b, x, y dương bệnh minhVới số đông a, b, c, x, y, z dương minh chứng Giải:1)2) bài tập áp dụng:Cho x, y,z dương và xyz =8. Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thứcVới đầy đủ tam giác ABC tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thứcVí dụ 4 : cho x, y, z dương vàChứng minh Giải: Từ trả thiết và vận dụng BĐT Côsi ta có:Ta cũng có thêm 2BĐT tương tự như thế. Nhân vế cùng với vế những BĐT đó cùng thu gọn ta được Đpcm.Bài tập áp dụng : cho x, y, z, t dương vàChứng minh ví dụ như 5 : cho x, y dương, . Tìm giá trị nhỏ dại nhất của Giải : áp dụng Côsi ta có :Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi . Vậy minS = 5.Ví dụ 6 : cho x, y, z dương cùng x+y+z = 1. Kiếm tìm min củaGiải : áp dụng BĐT Côsi ta có :Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi . Vậy bài bác tập áp dụng : cho x,y, z dương cùng x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của lấy ví dụ 7 : mang lại x,y,z dương và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thứcGiải : áp dụng BĐT Côsi ta có : . Ta cũng đều có 2 BĐT giống như như vậy. Công các BĐT đó lại ta được . Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minA = 6.Bài tập áp dụng :Cho x, y, z dương và x+y+z = 6. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của mang lại x, y, z dương với xyz = 1. Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của Ví dụ 8 : cho x, y, z dương.

Xem thêm: Mua Đầm Maxi Ở Đâu Tphcm Hot Nhất Hiện Nay, Top 10 Shop Bán Đầm Maxi Đẹp Nhất Sài Gòn

Hội chứng minh:Giải: vận dụng BĐT Côsi ta có: . Ta cũng có 2BĐT tương tự như thế. Cộng vế với vế những đẳng thức ta được ĐpcmBài tập áp dụng :Cho x, y, z dương với xyz = 8. Tìm giá chỉ trị bé dại nhất củaCho x, y, z dương cùng xy + yz + zx = xyz. Bệnh minh :Ví dụ 9 : cho x, y, z dương với 4x + 4y + 4z = 3. Tìm giá bán trị lớn nhất của Giải : vận dụng Côsi ta có : Ta cũng có 2 BĐT tương tự như như thế. Cộng những phân thức đó lại ta được A≤3. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .Vậy maxA = 3. Bài bác tập áp dụng : đến x, y, z, t dương và 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm giá trị lớn nhất củaVí dụ 10 : cho x, y dương cùng Tìm giá trị nhỏ dại nhất của Giải : Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy bài xích tập áp dụng : đến x, y dương với x + y ≥ 4. Chứng minh:Ví dụ 11 : đến x, y, z dương với . Tìm giá bán trị nhỏ nhất của Giải : bí quyết 1 : Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi . Vậy giải pháp 2: Chú ý: học viên dễ bị sai trái tìm ra minP = 6 ?!Bài tập áp dụng: 1) mang lại x, y dương và x + y = 1. Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của2) khẳng định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ dại nhấtVí dụ 12 : đến x, y, z dương cùng x + y + z = 6 . Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất củaGiải : Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi x = y = z = 2. Vậy minB = 24Bài tập áp dụngCho x, y , z dương cùng x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất củaVới số đông tam giác ABC tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của ví dụ như 13 : đến a, b, c, d dương. Chứng minh:Giải: Ta gồm . Ta cũng có 3 BĐT giống như như vậy. Cộng các BĐT này lại ta được Đpcm.Bài tập áp dụng : cho a, b, c, d dương. Bệnh minh1) 2) lấy ví dụ như 14 : mang đến x, y , z dương tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất củaGiải : mặt khác : . Đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi x = y = z = 1. Vậy Lời bình: Còn rất có thể tìm được 5 biện pháp giải khác áp dụng BĐT Côsi. Mời các bạn thử sức!Ví dụ 15: đến a, b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2+b2+c2+abc = 4. Chứng tỏ rằng a+ b + c ≤ 3.Giải: bí quyết 1: Đây là 1 trong BĐT có điều kiện. 1 trong những những cách thức xử lí những câu hỏi này là khử đk ngay trường đoản cú đầu. Coi điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 như phương trình bậc nhì theo a, ta đượcMột giải pháp tự nhiên, vận dụng BĐT Côsi cho căn thức vào biểu thức trên, ta có đánh giáTừ đó biện pháp 2: Đặt , ta có4 = a2+ b2 + c2+ abc = a2 + 2t2 + at2+(b2+ c2- 2t2) + a(bc - t2)= Từ trên đây suy ra sẽ có được đánh giáCách 3 : Từ điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 ta suy ra . Trường đoản cú đó áp dụng BĐT Côsi cho các số 2 – a, 2 – b, 2 – c ta bao gồm Từ đó suy ra cách 4 : Cũng do điều kiện đã gợi chúng ta đi mang đến phép ráng lượng giác. Rõ ràng có thể đặt a= 2cosA và b =2 cosB, c = 2 cosC, với A, B là các góc nhọn. Lúc đó, tính c theo a, b, ta đượcVậy c = 2cos C với . Như vậy điều khiếu nại a2 + b2 + c2 +abc = 4 đã có được tham số hoá thành a = 2 cosA, b= 2cosB, c= 2cosC với , A, B, C> 0. Yêu mong của vấn đề trở thành bất đẳng thức thân quen trong tam giác:Đó là 1 trong lời giải ngắn gọn đến bất đẳng thứcBài tập áp dụng: cho x, y, z dương cùng x2+ y2 + z2 + 2xyz = 1. Chứng minh